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Álgebra homológica en pro-categorías y homología cíclica: Christian Valqui
Las presentas notas corresponden al contenido de un semestre y medio dictado parcialmente a través de exposiciones de los alumnos, en los cursos de doctorado del IMCA. Junto con el contenido de "Cohomología de deRham no conmutativa" (Por aparecer en las monografías del IMCA) de Guillermo Cortinhas nos dan el contenido de dos semestres. La primera parte fue publicada bajo el título "Pro-módulos" en la revista Pro-Mathematica. El resto de material sigue básicamente la linea de [V3], habiendo mejorado sobre todo la demostraci´on de la proposición 3.2.2 (siguiendo [CV, prop. 2.6.1]). Además se construye explícitamente la categoría derivada sin usar los axiomas de categorías trianguladas, para mantener el nivel elemental de la exposición.
El conocimiento previo de los alumnos del curso dado correspondía a conocimientos básicos de álgebra homológica, contenidos por ejemplo en el capítulo IV del libro [HS].
Como ejemplos tenemos:
1. La categoría de conjuntos. Aquí hom(A,B) es el conjunto de las funciones de A en B; la identidad y la composición son las usuales.
2. Las siguientes categorías de conjuntos con estructura:
(a) Veck con objetos los espacios vectoriales sobre k y con morfismos las transformaciones lineales entre ellos.
(b) Gr con objetos los grupos y con morfismos los homomorfismos de grupos.
(c) Top con objetos los espacios topológicos y con morfismos las nfunciones continuas.
(d) Algk con objetos las álgebras sobre k y con morfismos los homomorfismos de álgebras.
(e) m? Alg con objetos las m álgebras (que son álgebras localmente convexas de modo que la topología está dada por una familia de seminormas submultiplicativas) y con morfismos los homomorfismos de álgebras que sean continuos.
(f) c ? Alg con objetos las c-álgebras (que son álgebras localmente convexas de modo que la multiplicación sea continua) y con morfismos los homomorfismos de álgebras que sean continuos. 3. Cada clase X forma una categoría (llamada discreta) donde los objetos son los miembros de X y los únicos morfismos son los morfismos identidad.