Anterior | Inicio | Siguiente



Grupos de Difeomorfismos del Círculo, Andrés Navas.
La teoría clásica de los sistemas dinámicos comprende el estudio cualitativo y cuantitativo de las órbitas de una aplicación o de un campo de vectores. En el caso en que la aplicación considerada es invertible, o que el campo en cuestión es regular, lo anterior puede ser interpretado como una acción del grupo (Z, +) o de (R, +) respectivamente. De esta forma, la dinámica clásica puede ser pensada como una rama particular de la teoría general de acciones de grupos.
Es natural que esta teoría general sea aún más complicada que la ya difícil teoría clásica, pues en ella aparecen nuevas problemáticas relacionadas con obstrucciones de tipo algebraicas del grupo o topológicas del espacio en consideración. Para ser más precisos, el problema que se nos presenta inmediatamente es el siguiente: dados un grupo ?? y un espacio M (generalmente métrico y compacto), ¿existe una acción "no trivial" de ?? en M? (por una acción no trivial podemos entender una acción efectiva, libre, topológicamente transitiva, etc). Veremos que en muchísimos casos la respuesta a esta pregunta es negativa.
Dado lo anterior, resultaría ambicioso (y tal vez imposible) considerar directamente la teoría general de acciones de grupos. Es natural entonces restringir el campo de estudio, ya sea limitando la clase de grupos que intervienen o bien el tipo de espacios sobre los que ellos act´uan. En estas notas seguiremos el segundo camino, y nos concentraremos en el estudio de las acciones de grupos sobre la más simple de las variedades compactas: el círculo. Veremos que, a pesar de la aparente simplicidad del problema, ´este resulta sorprendentemente interesante y complejo. Esto no es una casualidad, pues existe una estrecha relación entre la teorí de acciones de grupos sobre el círculo y la de foliaciones de codimensión 1.
En la literatura existe ya un completo y elegante tratado sobre la teoría de acciones por homeomorfismos del círculo debido a Ghys [68]. Es por esta razón que hemos orientado estas notas principalmente a la teoría de acciones por difeomorfismos, la cual es sensiblemente diferente en diversos aspectos.
Sin embargo, aún dentro del contexto de los difeomorfismos, este texto resulta incompleto. Nos hubiese gustado incluir al menos una pequeña sección introductoria a la "teoría de los pequeños denominadores", expandirnos en torno al teorema de Sacksteder introduciéndonos en la "teoría de niveles", desarrollar en parte la teoría cohomológica de los grupos de difeomorfismos del círculo estudiando el cociclo de Bott-Virasoro-Thurston (o clase de Godbillon-Vey), y por sobre todo haber añadido dos capítulos centrados respectivamente en los grupos de difeomorfismos real-analíticos y en las representaciones de grupos fundamentales y modulares de superficies.
Las inexorables restricciones de tiempo y espacio nos impidieron continuar nuestro trabajo en tales direcciones...
Este texto comienza con una breve sección en la que fijamos las notaciones y damos las definiciones de los conceptos básicos a utilizar. Ciertos conceptos m´as elaborados, como por ejemplo el de promediabilidad, son tratados en el apéndice.
En el capítulo 1 estudiamos algunos ejemplos de grupos sencillos que actúan sobre el círculo. Luego de detenernos en el estudio del grupo de rotaciones, del grupo afín y el de Möbius, tratamos el caso general de los grupos de Lie, para finalizar centrándonos en los grupos de Thompson.
En el capítulo 2 estudiamos algunos resultados fundamentales de la dinámica de grupos de homeomorfismos. En la primera parte del capítulo analizamos ciertos aspectos combinatorios que aparecen de manera natural en este estudio. Comenzamos haciendo un recuento de los resultados más relevantes de la teoría de Poincaré para acciones de (Z, +). Posteriormente, estudiamos la relación entre el número de rotación y las medidas invariantes. Finalizamos centrándonos en las acciones efectivas y libres por homeomorfismos del cí?rculo y de la recta. Un tópico que no trataremos en estas notas, pero que está muy relacionado con los temas precedentes, es el de la clase de Euler, tanto en cohomología usual como en cohomología acotada.
Las razones para no haber incluido este tópico son, en primer lugar, el que se encuentra excelentemente desarrollado en [68], y en segundo lugar el hecho que, si bien juega un rol esencial en la caracterización de acciones por homeomorfismos del círculo, su importancia en la teoría diferenciable es bastante menor. En la segunda parte del capítulo 2 abordamos esencialmente un resultado debido a Margulis, el cual establece una versión débil de la alternativa de Tits para grupos de homeomorfismos del círculo. Para este resultado no daremos la prueba original de Margulis, sino que desarrollaremos la demostración alternativa propuesta por Ghys, la cual se presta para una reinterpetación probabilística dentro del contexto de la teoría de caminatas aleatorias sobre grupos.
En el capítulo 3 hemos reunido una serie de teoremas de índole dinámico para los cuales una cierta hipótesis de diferenciabilidad (en general C2) es esencial. Comenzamos con el más importante de ellos, a saber, el teorema de Denjoy. Estudiamos luego otros resultados relacionados, como lo son los teoremas de Sacksteder y de Duminy. Luego de discutir algunos problemas abiertos importantes para la teoría, finalizaremos tratando el problema de la diferenciabilidad de la conjugación entre grupos de difeomorfismos (para casos muy particulares). Hubiese sido natural estudiar también en este capítulo algunas propiedades específicas a clases de diferenciabilidad superiores a C2. Sin embargo, no nos extenderemos en torno a esta promisoria vertiente de investigación, en parte debido a que hasta hoy no existe ningún tratado sistemático del asunto (vea sin embargo [32, 42, 187]).
Los capítulos 4 y 5 corresponden a una tentativa de descripción de los grupos de difeomorfismos de variedades unidimensionales sobre la base de informaciones algebraicas relevantes. Comenzamos analizando el caso de los grupos abelianos y nilpotentes valiéendonos en parte del famoso "lema de Kopell". Estudiamos despuées los grupos solubles de difeomorfismos, y explicamos las dificultades que se presentan al momento de tratar el caso de los grupos promediables. Finalmente, nos concentramos en torno a las acciones de grupos que satisfacen propiedades cohomológicas especiales. Después de revisar el ya clásico teorema de estabilidad de Thurston, estudiamos los teoremas de rigidez para las acciones de grupos de Kazhdan y de suprarigidez para las acciones de redes de rango superior. Estos últimos pueden ser pensados como una culminación natural (aunque tal vez no definitiva) de una serie de resultados de obstrucciones para acciones unidimensionales de redes de grupos de Lie simples y semisimples. Nos hemos esforzado en hacer estas notas lo más autocontenidas posible. Si bien muchos de los resultados presentados son bastante recientes, las técnicas empleadas son en general elementales. Hemos añadido también una serie de ejercicios complementarios con el objetivo de ampliar el panorama de cada uno de los resultados y de indicar algunas referencias relevantes.
Advertimos sin embargo al lector que estos "ejercicios" pueden variar abruptamente en nivel de dificultad. De hecho, los (mini)-resultados a veces allí expuestos en muchas ocasiones no figuran en la literatura. ´Este también es el caso de tres secciones completas del texto, a saber las secciones 3.4, 3.5.1 y 3.6.2. La primera de ellas merece especial atenci´ón, pues contiene la demostración original de un teorema probado por Duminy (hace ya casi 30 años) sobre la existencia de infinitos fines para hojas semi-excepcionales de foliaciones de codimensióon 1 y transversalmente de clase C2. La necesidad de publicar la extraordinaria prueba de Duminy de este notable resultado (para el cual una referencia alternativa es [39]) fue una de las motivaciones para la confección de este texto.
La versión original de estas notas fue escrita para ser presentada, en forma de un minicurso, en el 2o Workshop de Sistemas Dinámicos de la Universidad Catóolica del Norte, realizado en Antofagasta el mes de Agosto del año 2001. La versión corregida y aumentada fue preparada para ser presentada, también en la forma de minicursos, durante el verano del 2006 en el Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) y en Diciembre del 2006 en el Instituto de Matemática y Ciencias Afines (IMCA).