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Integrabilidade de Equações Diferenciais no Plano Complexo, Jorge Pereira
Nesta monografia apresentamos ao leitor alguns aspectos da teoría de integração explícita de equações diferenciais. Tratamos o caso de equações polinomiais no plano complexo. Não buscamos a originalidade, de fato todos os resultados apresentados podem ser encontrados na literatura, mas sim expor de forma elementar alguns métodos clásicos de integração e baseados em resultados recentes discutir a sua surpreendente eficacia.
No primeiro capítulo são expostas as noções básicas a serem utilizadas ao longo do texto. Além de apresentar os conceitos de integrais primeiras, fatores de integração é curvas algébricas invariantes, é posta em evidencia a dualidade entre 1-formas diferenciais e campos de vetores no plano complexo.
No segundo capítulo apresentamos a estratégia utilizada por Darboux para obter integrais primeiras para 1-formas polinomiais em C2. Destaca-se nesse capítulo o criterio de Darboux-Jouanolou que pode ser sucintamente enunciado da seguinte forma: uma 1-forma diferencial polinomial admite integral primeira racional se, e somente se, admite uma infinidade de curvas algébricas invariantes.
No terceiro capítulo voltamos a nossa atenção para o paradigma introduzido por Lie para resolver equações diferenciais. Este baseiase no uso de simetrías infinitesimais para obter integrais primeiras.
Como resultado principal do capítulo mostramos que um campo de vetores polinomial admite um fator de integração racional se, e somente se, admite uma simetría infinitesimal. Após uma breve digressão para caracterizar as 1-formas racionais fechadas em C2 explicitamos a forma das integrais primeiras obtidas por este paradigma.
No quarto capítulo apresentamos o belo Teorema de Singer que caracteriza as equações diferenciais polinomiais em C2 que podem ser integradas utilizando os métodos do cálculo diferencial. Este capítulo pressupõe uma certa maturidade matemática do leitor ao asumir alguma familiaridade com aspectos básicos da teoría de extensão corpos. Isso debe-se ao fato de que o Teorema de Singer é um resultado do ámbito da álgebra diferencial e a pesar deexpormos os conceitos desta teoría que utilizamos, ela baseia-se na teoría clássica de corpos. Concluímos mostrando que, após uma pequena alteraçâo, o método de integraçâo de Darboux permite integrar qualquer equações diferencial polinomial em C2 que possa ser integrada por métodos do cálculo diferencial.
Em um quinto e último capítulo reunimos referências a questões relacionadas com o material desta monografía.