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Introducción a la Cohomología de DeRham, Elon Lages Lima
La motivación principal de la topología algebraica se puede resumir en la siguiente afirmación: El álgebra es más fácil que la topología. Por ejemplo se pueden sumar números, elementos de un anillo, mas no objetos topológicos. Con el álgebra es posible hacer cálculos.
Entonces la estrategia es la siguiente:
Se reemplaza el espacio topológico por un objeto algebraico que contenga información acerca del espacio topológico, por ejemplo un grupo
X ? G = G(X).
A cada función continua entre espacios topológicos f : X ? Y
le corresponde una función de grupos f* : G(X) ? G(Y ). Las propiedades geométricas del espacio X, respectivamente de f* se traducen en propiedades algebraicas del grupo G(X), respectivamente de f*. Se pierde alguna información al hacer esta traducción, lo cual facilita el cálculo. A medida que se va desarrollando la topología algebraica se incluye cada vez más información al pasar de lo topológico a lo algebraico, para perder cada vez menos información, con lo cual lo algebraico se hace cada vez más complicado.
En general la topología algebraica se vale de dos tipos de teorías distintos para lograr esta traducción: La homotopía, que es fácil de definir y difícil de calcular, y la homología, que es difícil de definir pero más fácil de calcular. La homología asigna a cada espacio topológico sus grupos de (co)homología
X ? Hr(X) , r = 0, 1, 2, . . .
Este curso va a tratar solamente teorías (co)homológicas, y nos restringiremos a la cohomología de deRham, que es más fácil de definir que la (co)homología singular por ejemplo, suponiendo que se tiene conocimientos suficientes del análisis, en especial sobre formas y variedades diferenciables. La cohomología de deRham asigna a cada variedad diferenciable grupos cohomológicos Hr(M) que incluso son espacios vectoriales reales, sin embargo los seguiremos llamando grupos de cohomología. La cohomología de deRham se basa en formas diferenciales sobre una variedad. Por eso empezaremos por hacer una rápida revisión de formas.