Anterior | Inicio | Siguiente



Cuádricas y Cúbicas, Fernando Cukierman
A través de las ideas y métodos que expondremos esperamos se alcance una comprensión más amplia y clara del problema, en particular justificando geométricamente ciertas substituciones utilizadas en textos clásicos; ver por ejemplo [5], [7], [11], [13].
Además, lograremos ampliar nuestra colección de funciones j con primitiva explícitamente calculable. El caso de las integrales abelianas es aquel en que j(x) = R(x, y) donde R es una función racional de dos variables y donde y = y(x) es una función algebraica de x, o sea, existe una relación de dependencia algebraica f(x, y) = 0, donde f es un polinomio en dos variables.
En esta situación se puede considerar que estamos trabajando con una forma diferencial ? = j (x)dx sobre la curva algebraica X definida por f.
Debido a que la correspondencia entre polinomios y sus conjuntos de ceros tiene mejor comportamiento en el caso complejo que en el caso real, será conveniente trabajar sobre el cuerpo de los complejos, lo cual no produce inconvenientes para nuestro problema original. Resulta importante destacar además el carácter biracional del problema del cálculo de primitivas. Esto implica en particular que tiene relevancia considerar el género g(X).
Como veremos, si g(X) = 0 entonces X es una curva racional y toda integral abeliana sobre X se reduce a fracciones simples. Si g(X) = 1 entonces X es una curva elíptica, biracionalmente equivalente a una cúbica plana, y las integrales abelianas sobre X se calculan en términos de funciones elípticas.
En el caso general, cada integral abeliana se puede expresar como suma de una primitiva elemental (más precisamente, una diferencial exacta) y de integrales de primera, segunda y tercera especie. El número de integrales de primera y de segunda especie linealmente independientes está determinado por el género de X. Por otra parte, las integrales de tercera especie se pueden expresar como suma de derivadas logarítmicas trasladadas de la función ? de Jacobi y Riemann.
Vamos a suponer cierta familiaridad con los conceptos básicos de la teoría de curvas algebraicas, a nivel de los primeros capítulos de [4].