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Medida y Forma en Geometría: Elon Lages Lima
Etimológicamente, Geometría quiere decir medida de la tierra. Esta denominación griega es justificada por el historiador Herodoto (siglo quinto A.C.), que atribuyó a los egipcios el origen de esa ciencia. Según él, el impuesto que pagaban los propietarios de tierras en Egipto era directamente proporcional al área de cada lote. Los rebalses del río Nilo muchas veces hacían desaparecer parte de las tierras de los agricultores. Entonces los cobradores de impuestos del faraón tenían que recalcular cada área para que la cobranza fuese ajustada. También era necesario, para efectos del comercio, que se supiera calcular el volumen de cada depósito de grano.
Así, el cálculo de áreas y volúmenes es un asunto milenario, cuya importancia se reveló muy temprano, aún en las civilizaciones organizadas de forma simple en relación a los patrones actuales.
Descubrimientos históricos recientes revelaron que los conocimientos matemáticos de los babilonios (denominación genérica para los diversos pueblos que, durante 3,000 años, ocuparon sucesivamente Mesopotamia, región aproximadamente correspondiente al Irak de hoy) eran más extensos y avanzados que los de los egipcios. Esto es particularmente cierto en Álgebra y en los cálculos numéricos, pero también ocurre en Geometría, donde además de conocer las áreas y volúmenes de figuras geométricas simples, los babilonios sabían resolver problemas que incluían la relación de Pitágoras, que les era familiar mil años antes que los pitagóricos.
Por lo tanto, sea en Egipto, o en Babilonia, áreas y volúmenes son las primeras nociones geométricas que despiertan el interés del hombre.
Sin embargo, se debe resaltar enfáticamente que, para esos pueblos precursores de la Geometría, esta no era organizada en los moldes y patrones lógicos modernos. La idea de que las afirmaciones necesitaban ser demostradas aún no había ocurrido. En los documentos babilónicos y egipcios más antiguos (que datan de aproximadamente 1,700 A.C.) hay solo enunciados de los problemas, y reglas presentadas bajo la forma de recetas para resolver esos problemas.
Según se cree, a partir de referencias hechas por historiadores de la época, las primeras demostraciones matemáticas de deben a Tales, que vivió en el siglo sexto A.C. A partir de ahí, durante 800 años los griegos cultivaron y perfeccionaron, con singular brillo, la Geometría organizada deductivamente, con axiomas, definiciones, teoremas, corolarios, etc. Ese modelo fue adoptado por las generaciones subsiguientes y es así que hasta hoy la Matemática es estructurada.
Un compendio sistemático de Geometría debe por lo tanto comenzar con una lista de conceptos primitivos, no definidos, (unidos a nociones geométricas, que tienen que ver con espacio y forma) y otra lista de proposiciones primitivas, o axiomas, donde son enunciados, sin demostración, hechos relativos a esos conceptos. En seguida son introducidas las definiciones y son demostrados teoremas, los cuales hacen afirmaciones referentes a los objetos geométricos, sean primitivos o definidos. El libro, sin embargo, no se hace así. No se inicia en el comienzo (por cuestión de principio...). Nuestro objetivo es estudiar la noción de medida en Geometría bajo sus aspectos uni, bi y tridimensional, esto es, medida de segmentos de recta (longitud), de figuras planas (área) y de figuras sólidas (volumen). Veremos como la medida de los objetos geométricos esta fuertemente relacionada con la idea de número real y como, en realidad, el descubrimiento de los números irracionales se dió en la Geometría y no en la Aritmética o en el Álgebra. Mostraremos como los teoremas y los conceptos básicos de la Geometría son necesarios para el estudio de las áreas y de los volúmenes. Acompañaremos la evolución y revelaremos los orígenes de las ideas fundamentales de la Geometría. Haremos una revisión de la noción de semejanza desde el principio y la aplicaremos repetidamente en el estudio de las áreas y de los volúmenes. Y concluiremos con una presentación, en el lenguaje y en el estilo del siglo veinte, de resultados obtenidos por Arquímedes en el segundo siglo A.C. y demostrados por medio de métodos descubiertos por Cavalieri en el siglo diecisiete. Más específicamente, el libro consta de cuatro capítulos, cuyo contenido pasamos a describir en forma resumida. El Capítulo 1 trata de la medida de un segmento de recta. En él se muestra que el proceso de comparar un segmento arbitrario con otro fijado como unidad conduce a los diversos tipos de números reales positivos: enteros, racionales e irracionales de segmentos inconmensurables es explicada y, al final, una nota histórica breve describe como los matemáticos griegos enfrentaron la cuestión de la inconmensurabilidad. El Capítulo 2 aborda la noción de área de una figura plana. Se deducen las fórmulas usuales para las áreas de los polígonos más simples y se presenta la definición general de área de una figura plana. En la deducción de las fórmulas para las áreas del cuadrado y del rectángulo se hace una distinción cuidadosa entre los casos en que los lados son conmensurables o inconmensurables con la unidad de longitud adoptada. El capítulo termina con una nota histórica, en la que se cuenta como las áreas son estudiadas en los Elementos de Euclides. Como subproducto de ese relato, se presenta la demostración dada por Euclides para el Teorema de Pitáagoras y se esclarece la razón de su elección del argumento, a la luz de la discusión hecha en el Capítulo 1. El Capítulo 3 contiene una exposición de la teoría de la semejanza que ocupa un lugar central en la Geometría Euclidiana. La definción de semejanza esta dada "comme il faut", se desarrolla de modo que contenga un abordaje tradicional y es aplicada para dar una deducción simple y conceptual de la fórmula para el área del círculo. Se muestra que el número _, definido como el área de un círculo de radio 1, es también la razón entre las longitudes de la circunferencia y de su diámetro. Al final del capítulo se hace una crónica resumida sobre el número. El libro termina, en el Capítulo 4, con el estudio de los volúmenes de los sólidos geométricos. Se da la definición general de volumen y se deducen las fórmulas para los volúmenes de los sólidos más conocidos. El principal instrumento de trabajo utilizado es el Principio de Cavalieri, con el que se obtiene, de forma simple y elegante, los volúmenes de los sólidos que tienen caras inclinadas, como prismas y pirámides, o sólidos "redondos", como cilindros, conos y esferas. El uso sistemático del Principio de Cavalieri evita los tradicionales argumentos, que requieren pasos específicos al límite, aún para sólidos rectilíneos, como pirámides de bases poligonales. Las áreas de las superficies del cilindro, del cono y de la esfera son estudiadas de forma clásica. Como punto culminante, el capítulo termina con un esbozo histórico de la evolución de las ideas presentadas en él, destacando las contribuciones de Arquímedes y Cavalieri.
Los conocimientos que admitimos del lector son, en realidad, muy modestos. Suponemos esencialmente que conozca los 3 casos clásicos de igualdad (o mejor dicho de "congruencia") de triángulos, algo sobre rectas paralelas, como por ejemplo la igualdad de ángulos con lados paralelos o perpendiculares, el postulado de Euclides, según el cual por un punto dado fuera de una recta pasa una única paralela a esa recta y el teorema de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 2 rectos. Todas esas cosas son muy difundidas. En todo caso, si el lector necesita refrescar su memoria, mi recomendación es volver a ver esos asuntos en el libro de Joao Lucas Barbosa, citado en la lista de referencias, al final de este libro.
Después de cada capítulo de este libro, hay una lista de ejercicios propuestos. Solo dos o tres de ellos traen ilustraciones. Los dibujos de las figuras geométricas son parte importantísima para la comprensión, fijación e imaginación creativa. Por eso considero fundamental que el lector, por si solo, dibuje la figura a partir del enunciado del problema. Esa tarea es parte del ejercicio. Aunque no pueda resolverlo totalmente, el dibujo ya es un resultado positivo.
En algunos ejercicios, hay solo un enunciado, sin ningún pedido específico, como "pruebe", "muestre", etc. Agregue ese pedido mentalmente.
No está demás repetir que una actitud pasiva en el aprendizaje lleva a un conocimiento incompleto, inseguro y efímero. Para entender las diversas facetas del asunto, ganar confianza y grabar de modo permanente aquello que se aprendió es necesaria la experiencia, repetida varias veces, de transformar interrogaciones en afirmaciones (hasta, si es posible exclamaciones!). Es necesario dudar, cuestionar, indagar, hacer conjeturas. Buscar caminos, imaginar construcciones, investigar interconexiones, forzar el razonamiento, ejercitar la mente. Ese proceso es muy parecido con aquel que se usa para desarrollar la musculatura, en casa, en la playa o en los gimnasios. El principio es el mismo. Y la conclusión es igual: hacer ejercicios. Tenemos pues que repetir aquello que todo autor de texto matemático dice en su introducción: los ejercicios hacen parte integrante del libro.
El lado histórico de las cosas aquí tratadas es uno de los aspectos más relevantes, no solo porque ilustra y ameniza el aprendizaje, sino también porque ayuda a entender la evolución de las ideas y su significado actual.
Las notas históricas que presentamos son inevitablemente breves. Esperamos que ellas despierten el interés y agudicen la curiosidad del lector para lecturas más substanciales. Los libros de Aaboe, Boyer y Struik, citados en la lista de referencias bibliográficas son los mejores que hay en lengua portuguesa sobre el asunto.